Aula Integral Dupla e Transformação para Coordenadas Polares: Como parte do estudo da disciplina de Cálculo Integral e Diferencial II nos cursos técnicos, de engenharia e afins, veja esta aula sobre Integral Dupla e Transformação para Coordenadas Polares. Este conhecimento vai ajudar muito na resolução de exercícios de cálculo II que envolvem Integral Dupla e Transformação para Coordenadas Polares.
Até agora, temos lidado com integrais duplas no sistema de coordenadas cartesianas. Isso é útil em situações em que o domínio pode ser expresso de forma simples em termos de x e y. No entanto, muitos problemas não são tão fáceis de representar graficamente. Se o domínio tem as características de um círculo ou cardióide, em seguida, é muito mais fácil de resolver a integral usando as coordenadas polares.
Introdução
O sistema cartesiano incide sobre navegar para um ponto específico com base na sua distância em relação aos eixos X e Y e as vezes do eixo Z. Em forma polar, há geralmente dois parâmetros para navegar para um ponto: r e θ:
- r representa a magnitude do vector que se estende desde a origem até ao ponto desejado. Em outras palavras, r é a distância diretamente para esse ponto de coordenadas.
- θ (teta) representa o ângulo que o vector teórico acima mencionado faria com o eixo x. Isso cria um tipo de movimento circular porque nós ajustamos o valor de θ, o que nos permite expressar um círculo de raio 1 como r = 1 ao invés de x2 + y2 = 1, em coordenadas cartesianas.
Fonte: Estudar.info
Fórmula Polar da Integração Dupla
Muitos das integrais duplas que trabalhamos e que encontraram círculos, até agora envolvia pelo menos com expressões x2 + y2. Quando vemos essas expressões um sino deve tocar e devemos gritar: “Não podemos usar coordenadas polares.” A resposta é: “Sim”, mas somente com cuidado. Lembre-se que quando mudamos variáveis na integração única variável, como u = 2x, que precisávamos trabalhar com o fator de de integração du = 2dx. A idéia é semelhante com a integração de duas variáveisl. Quando se muda para coordenadas polares, haverá também um factor de integração. Isto é evidente uma vez que a área de um “retângulo polar” não é apenas como se poderia esperar. A imagem é mostrada abaixo.
Mesmo que Δr e Δq sejam muito pequenas, a área não é o produto “Δr.Δq”. Isto vem da definição de radianos. Um arco que se estende Δq radianos uma distância r a partir da origem tem comprimento Δq. Se ambos Δr e Δq são muito pequenas então o retângulo polar vai ter área igual a A = r.Δr.Δq. Isso nos leva ao seguinte teorema:
Seja f (x, y) uma função contínua definida sobre uma região delimitada R em coordenadas polares por:
r1 (q) < r < r2 (q) e q1 < q < q2
Portanto,
Discussão teórica com a elaboração descritiva
A área de uma região fechada e limitada r no plano de coordenadas polares é dada por:
A = ∬R rdrdθ
Para encontrar os limites para um domínio neste formulário, usamos uma técnica semelhante como acontece com integrais em forma retangular. Começando na origem com r = 0, nós aumentamos o valor de r até encontrar a distância total máximo e mínima a partir da origem. Da mesma forma, para θ que começam em θ = 0 até encontrarmos os ângulos mínimos e máximos que o domínio faz com o origem. A distância máxima a partir da origem e do ângulo máximo com a origem que define o limite representa o limite superior para a integral dupla. A distância mínima e o ângulo mínimo que a origem faz com a origem define o limite inferior para a integral dupla.
Por exemplo, para encontrar os limites para r, temos de olhar para ver o que as distâncias globais mínimas e máximas da origem que estão em termos de r. Às vezes, os problemas irão explicitamente dar-lhe as curvas que formam o domínio, outras vezes você pode precisar olhar para um gráfico para determinar o domínio. Independentemente disso, se a origem está contida no domínio, portanto, o limite inferior para r vai ser 0. O limite superior será o que engloba a curva restante do domínio.
θ é geralmente mais simples de calcular. Os limites inferiores e superiores são os ângulos máximo e mínimo e que o domínio faz com a origem. Funções trigonométricas pode ser usado para determinar os ângulos extremos que a função faz com a origem.
Se uma equação é fornecido, é útil usar as conversões:
x = r.cosθ
y = r.sinθ
para converter equações de cartesiano para a forma polar. Se alguém deve determinar os limites de um gráfico fornecido, ele pode ser útil para adivinhar e verificar traçando alguns pontos de teste para ver se seus limites verdadeiramente corresponder ao gráfico fornecido.
Se você precisa converter um integrante do cartesiano para a forma polar, representar graficamente o domínio usando os limites cartesianos e seu conhecimento de curvas no domínio cartesiano. Em seguida, utilizar o método descrito acima para obter os limites em forma polar. Uma vez que o integrante está configurado, ele pode ser resolvido exatamente como uma integral usando coordenadas retangulares.
Fonte: Estudar.info
